开办口腔私人诊所需要满足以下条件和具备相关资质：

医疗执业资格：作为负责人的牙医必须持有有效的医疗执业资格证书，如牙医执业证等。该证书通常由当地相关卫生行政部门发放。

营业场所要求：私人口腔诊所需要有符合卫生要求的营业场所，包括合适的治疗区域、消毒装备、洗手间等。特别是对于口腔诊所，需要有配备合格的牙科设备和器械，如诊断设备、牙椅、手术器械等。

人员资质要求：诊所需要雇佣具备相关专业资质的医疗人员，如牙医、口腔专科医生、牙科技师等。他们应当拥有合法的医疗资质证书，并具备相应的专业技能。

医疗质量管理要求：满足医疗质量管理的相关要求，包括制定和实施规范的治疗流程、医疗废物安全处理、感染控制措施等。

相关许可和执照：根据当地法律法规的要求，申请开设私人口腔诊所需要办理相应的许可和执照，如医疗机构执业许可证或经营许可证。